Том 2. Теоретико-мыслительный подход. Книга 1 : От логики науки к теории мышления - Георгий Петрович Щедровицкий

§ 3. [Зенон, Анаксагор и Демокрит]

Мы уже сказали, что пифагорейцы и Анаксимен, переводя бесконечное в область количества, подходили к совершенно новому определению понятия бесконечного, связанного с процессами измерения, счета и деления величин.

Развивающееся искусство счета с необходимостью приводит, в конце концов, к понятию о бесконечно большом множестве. Каково бы ни было число сосчитанных предметов, можно прибавить еще один предмет, и счет приведет к большему числу; количество чисел может таким образом увеличиваться неограниченно, превосходя любое заданное число.

Данный предмет, данную линейку можно разделить на любое число равных частей, каждую часть можно подвергнуть новому делению, неограниченно его продолжая. Это приводит к частям, число которых может быть сделано больше любого заданного числа, и сами части становятся сколь угодно малыми.

Бесконечно большие и бесконечно малые появляются в процессе измерения. Чтобы найти отношения, скажем, двух отрезков, нужно отыскать их общую меру, то есть отрезок, содержащийся в каждом из них целое число раз; а для этого нужно меньший отрезок отложить на большем столько раз, сколько уложится; если получится остаток, то его нужно откладывать на меньшем отрезке, второй же остаток на первом и т. д.; остаток, который отложится в предыдущем целое число раз и представляет собой общую меру наших отрезков. Этот прием, известный под названием последовательного деления, был известен уже в глубокой древности, причем уже пифагорейцы знали, что он не всегда приводит к цели, то есть возможны случаи, когда последовательное деление никогда не даст остатка, откладывающегося целое число раз в предыдущем; такой случай имеет, например, место, когда мы ищем отношение диагонали квадрата к его стороне. В таком случае число последовательных делений становится бесконечно большим, а последовательные остатки — бесконечно малыми.

Исходя из имеющихся материалов, мы не можем с полной определенностью решить вопрос о том, связывали ли пифагорейцы абстракцию бесконечного с этими процессами. Возможно, что не связывали, так как в их таблице противоположностей «бесконечное» противостоит «границе», а «единому» противостоит «множество».

Анаксимен ввел абстракцию «бесконечного количества». Сама абстракция «количества» возникает из процессов сравнения и измерения, а «бесконечное количество» означает, что этот процесс нельзя довести до конца. Но у нас совершенно нет основания утверждать, что Анаксимен понимал действительное значение введенной им абстракции, и даже более того, мы не можем утверждать, что он сталкивался когда-либо с невозможностью довести процесс измерения или деления до конца и связывал с этими случаями абстракцию бесконечного. Вероятнее всего, что введенная им абстракция выражала все тот же известный всем философам факт, что у первоначала не может быть границы.

Связь абстракции бесконечного с процессами измерения, последовательного деления и счета явственно выступает впервые у Зенона, философа элеатской школы. В своей апории «дихотомия» он показал процесс деления, который никогда не может быть доведен до конца. Сущность его рассуждения заключается в следующем. Пусть необходимо пройти отрезок АВ=а. Но очевидно, что, прежде чем пройти АВ, надо пройти половину его АВ₁=a/2. Но прежде чем пройти АВ₁, надо пройти половину его АВ₂=а/4 и т. д., и т. д.:

^Рис. 1

Таким образом, получается бесконечное количество отрезков, которое надо было пройти за конечный промежуток времени, а это казалось Зенону невозможным. Нам здесь важен тот момент, что процессы повторного деления привели Зенона к необходимости ввести если не формально, то, во всяком случае, по существу абстракции «бесконечно большого» количества и «бесконечно малой» величины. «Зенон доказывает, что если существует множественное, то оно и велико и мало; оно настолько велико, что множественное бесконечно по своему количеству. <…> Оно так мало, что не имеет величины» (Симплиций)[52]. Но в этих абстракциях, в самом их названии уже заложены противоречия. Что может означать, например, абстракция «бесконечно малая величина»? Абстракция величины предполагает определенные границы, «бесконечное» эти границы отрицает. Что же остается? Величина, не имеющая никакой величины. Зенон прекрасно осознает, что это противоречие, и исходя из него отрицает возможность существования как бесконечно больших, так и бесконечно малых: «Он показывает, что того, что не имеет ни величины, ни толщины, ни массы, не существует. Ибо если бы мы его прибавили к другому, оно не увеличило бы последнего; если именно оно не имеет величины и прибавляется к другому, оно ничего не может присовокупить к величине этого другого и, таким образом, то, что прибавляется, есть ничто. Точно так же, если его отнимут от другого, последнее вследствие этого не уменьшится; оно, следовательно, есть ничто» [Гегель, 1932, IX, с. 233–234].

Таким образом, абстракции «бесконечно большого» и «бесконечно малого» не только содержат в себе обычное противоречие между чувственной и абстрактно-логической формой знания, но в последнем [случае] в них содержится противоречие, вызванное углублением человеческого знания. С помощью процесса деления Зенон, по существу, уже перешел от постоянных величин к переменным. Изменилось содержание, с которым он соотносит абстракции величины и количества, а форма этих абстракций осталась прежней.

Противоречие, заложенное в абстракции бесконечно малой величины, развили дальше Анаксагор и Демокрит.

Основу вещей, согласно Анаксагору, составляет бесчисленное множество качественно-определенных материальных частиц, которые Аристотель впоследствии назвал «гомеомериями». Эти гомеомерии, по Анаксагору, не могут иметь определенные величины, ибо все вещи делимы до бесконечности, и сколько бы их ни делили, они не перестают существовать. Уменьшается только их величина. «И в малом ведь нет наименьшего, но всегда есть меньшее. Ибо бытие не может разрешаться в небытие» (Симплиций. Комментарии на «Физику» Аристотеля, 164, 16)[53]. Таким образом, Анаксагор берет одну сторону противоречия, возможность делить любую величину без конца, и оставляет в стороне вопрос о том, что же останется в результате этого деления.

Демокрит решает вопрос иначе. Ему кажется невероятным, чтобы деление тел можно было продолжать каждый раз снова и снова, ведь так в результате ничего не останется. Поэтому он считает, что в процессе деления мы, в конце концов, приходим к частицам, хотя и обладающим определенной величиной[54], но дальше уже неделимым (атом). Таким образом, Демокрит взял другую сторону противоречия — невозможность актуального существования бесконечно делимых величин — и оставил в стороне вопрос о том, могут ли существовать величины дальше неделимые.

Мы уже видели, что абстракции «бесконечно малой величины» и «бесконечно большого количества» возникают в связи с процессами деления. По существу, они должны выражать свойства самого процесса. Но так как люди привыкли судить о процессе по его результатам, скажем, по тому последовательному ряду отрезков, который получается в результате деления линии, то свойства самого процесса переносятся ими на его результаты. В этом и состоит ошибка Анаксагора.

В конспекте лекций Гегеля